Phương trình đường elip là một phương trình trong hình học có dạng chung là:

(x – h)²/a² + (y – k)²/b² = 1

Trong đó:

(h, k) là tọa độ của tâm đường elip trên hệ trục tọa độ Oxy.
a là bán trục lớn (độ dài từ tâm đến đỉnh trên cùng hoặc dưới cùng của đường elip).
b là bán trục nhỏ (độ dài từ tâm đến đỉnh bên trái hoặc phải của đường elip).

Phương trình trên định nghĩa một đường elip trên mặt phẳng Oxy, có tâm (h, k) và hai bán trục a và b. Điểm (x, y) thuộc đường elip khi và chỉ khi phương trình trên được thoả mãn.

Ngoài ra, còn có một số dạng phương trình đường elip khác, như phương trình tổng quát và phương trình tham số hóa, tùy thuộc vào cách biểu diễn và sử dụng đường elip trong bối cảnh cụ thể.

Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi tổng khoảng cách từ M đến F₁ và F₂ bằng 2a. Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho F₁ = (-c, 0) và F₂ = (c, 0). Khi đó, ta có:

M(x, y) ∈ E ⇔ (x²/a²) + (y²/b²) = 1, trong đó b² = a² – c². Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của elip.

Hình dạng của elip

Xét elip (E) có phương trình trên (1): Nếu điểm M(x, y) thuộc (E), thì các điểm M₁ = (-x, y) và M₂ = (x, -y) cũng thuộc (E). Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.

Thay y = 0 vào (1), ta có x = ±a, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A₁ = (-a, 0) và A₂ = (a, 0). Tương tự, thay x = 0 vào (1), ta được y = ±b. Vậy (E) cắt Oy tại hai điểm B₁ = (0, -b) và B₂ = (0, b). Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng A₁A₂ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ gọi là trục nhỏ của elip.

Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Từ hệ thức b² = a² – c², ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn.

Lý thuyết về Elip và Đường tròn

Elip và đường tròn là hai dạng hình học quan trọng trong mặt phẳng Oxy. Trong đó, elip là một dạng hình tròn biến đổi có đặc điểm riêng, trong khi đường tròn là một hình tròn cổ điển. Chúng có mối liên hệ với nhau thông qua một quy tắc đơn giản.

Đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² = a², với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tròn, chúng ta có thể xác định một điểm M’ (x’; y’) theo quy tắc sau:

x’ = x

y’ = (b/a) * y

Trong đó, 0 < b < a. Tập hợp các điểm M’ có tọa độ thoả mãn phương trình (x²/a²) + (y²/b²) = 1 là một elip (E). Điều này có nghĩa rằng đường tròn (C) được co thành elip (E).

Ứng dụng của phương trình đường elip

Phương trình đường elip là một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm hình học, vật lý và thiết kế đồ họa. Việc hiểu và áp dụng chúng giúp chúng ta phân tích và mô hình hóa các quy luật tự nhiên và các đặc điểm hình học của các hình dạng phức tạp.

Bài viết này hy vọng mang lại thông tin hữu ích về phương trình đường elip, từ đó giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất và ứng dụng của elip và đường tròn trong hình học.