Bình phương tối thiểu Là gì
Phương pháp Bình phương tối thiểu là quá trình tìm đường hồi quy hoặc đường thẳng phù hợp nhất cho bất kỳ tập dữ liệu nào được mô tả bởi một phương trình. Phương pháp này yêu cầu giảm tổng bình phương của các phần dư của các điểm từ đường cong hoặc đường thẳng và xu hướng của các kết quả được tìm thấy theo cách định lượng. Phương pháp cơ bản của việc khớp đường cong được thấy trong phân tích hồi quy và các phương trình khớp để suy ra đường cong là phương pháp Bình phương tối thiểu.
Công thức
Công thức tổng quát cho phương pháp Bình phương tối thiểu là:
Trong đó:
là giá trị thực tế của biến phụ thuộc của i;
là hệ số chặn của mô hình;
là hệ số của biến độc lập của i;
là giá trị của biến độc lập của i;
là sai số của giá trị thực tế và giá trị dự đoán.
Ví dụ
Giả sử, trong lớp học, cô giáo nói “Những học sinh dành nhiều thời gian hơn cho bài tập của họ sẽ đạt điểm tốt hơn”. Một học sinh muốn ước tính điểm của mình khi dành 2,3 giờ cho một bài tập. Thông qua phương pháp Bình phương tối thiểu, có thể xác định được mô hình dự đoán giúp học sinh ước tính điểm chính xác hơn. Ph
Phương pháp bình phương tối thiểu
Phương pháp bình phương tối thiểu là một phương pháp thống kê được sử dụng để tìm đường thẳng phù hợp nhất theo dạng của phương trình như y = mx + b cho các dữ liệu cho trước. Đường cong của phương trình được gọi là đường hồi quy. Mục tiêu chính của chúng ta trong phương pháp này là giảm tổng bình phương sai số càng nhiều càng tốt. Đây là lý do tại sao phương pháp này được gọi là phương pháp bình phương tối thiểu. Phương pháp này thường được sử dụng trong việc khớp dữ liệu với giả định rằng kết quả phù hợp nhất là giảm tổng bình phương sai số được xem là khác biệt giữa các giá trị quan sát và giá trị phù hợp tương ứng. Tổng bình phương sai số giúp tìm sự biến thiên trong dữ liệu quan sát. Ví dụ, chúng ta có 4 điểm dữ liệu và sử dụng phương pháp này chúng ta thu được đồ thị sau đây:
Các vấn đề giới hạn của Phương pháp bình phương tối thiểu
Mặc dù phương pháp bình phương tối thiểu được coi là phương pháp tốt nhất để tìm đường thẳng phù hợp nhất, nó vẫn có vài giới hạn. Chúng là:
- Phương pháp này chỉ thể hiện mối quan hệ giữa hai biến.
Phương pháp bình phương tối thiểu
Phương pháp bình phương tối thiểu là một phương pháp thống kê được sử dụng để tìm đường thẳng phù hợp nhất của một phương trình như y = mx + b cho dữ liệu đã cho. Đường cong của phương trình được gọi là đường hồi quy. Mục tiêu chính của chúng ta trong phương pháp này là giảm tổng bình phương sai số càng nhiều càng tốt. Đây là lý do tại sao phương pháp này được gọi là phương pháp bình phương tối thiểu. Phương pháp này thường được sử dụng trong việc đối chiếu dữ liệu nơi kết quả phù hợp nhất được giả định để giảm tổng bình phương của sai số được xem là khác biệt giữa các giá trị quan sát và giá trị dự đoán tương ứng. Tổng bình phương sai số giúp tìm sự biến thiên trong dữ liệu quan sát.
Đồ họa phương pháp bình phương tối thiểu
Xem đồ thị dưới đây, đường thẳng thể hiện mối quan hệ tiềm năng giữa biến độc lập và biến phụ thuộc. Mục tiêu cuối cùng của phương pháp này là giảm sự khác biệt này giữa phản hồi quan sát và phản hồi được dự đoán bởi đường hồi quy. Sai số càng ít thì mô hình càng khớp tốt. Các điểm dữ liệu cần được giảm thiểu bằng phương pháp giảm sai số của mỗi điểm từ đường thẳng. Có sai số dọc và sai số vuông góc. Sai số dọc thường được sử dụng trong đa thức và các vấn đề hyperplane trong khi sai số vuông góc được sử dụng nói chung như được thấy trong hình ảnh bên dưới.
Công thức phương pháp bình phương tối thiểu
Phương pháp bình phương tối thiểu là đường cong phù hợp nhất với tập quan sát với tổng sai số bình phương hoặc lỗi tối thiểu. Giả sử các điểm dữ liệu đã cho là (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…, (xn, yn) trong đó
Công thức phương pháp bình phương tối thiểu
Phương pháp bình phương tối thiểu được sử dụng để tìm một đường thẳng tuyến tính có dạng y = mx + b, trong đó y và x là các biến, m là độ dốc và b là giá trị y-chặn. Công thức để tính độ dốc m và giá trị b được cho bởi:
m = (n∑xy – ∑y∑x) / (n∑x^2 – (∑x)^2)
b = (∑y – m∑x) / n
Ở đây, n là số điểm dữ liệu. Sau đây là các bước để tính bình phương tối thiểu bằng các công thức trên:
Bước 1: Vẽ một bảng có 4 cột trong đó hai cột đầu tiên là các điểm x và y.
Bước 2: Trong hai cột tiếp theo, tìm giá trị xy và (x)2.
Bước 3: Tìm ∑x, ∑y, ∑xy và ∑(x)2.
Bước 4: Tìm giá trị độ dốc m bằng công thức trên.
Bước 5: Tính giá trị bằng công thức trên.
Bước 6: Thay giá trị của m và b vào phương trình y = mx + b.
Hãy xem một ví dụ để hiểu rõ hơn:
Ví dụ
Giả sử chúng ta có dữ liệu như dưới đây.
| x | y | xy | (x)2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 6 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 9 |
| 4 | 5 | 20 | 16 |
Giải pháp:
Bước 1: Vẽ bảng dữ liệu.
Bước 2: Tìm giá trị xy và (x)2.
Tính giá trị của m
Để tính giá trị của hệ số góc m, ta sử dụng công thức sau:
m = (n∑xy – ∑y∑x)/n∑x2 – (∑x)2
Thay giá trị của dữ liệu vào công thức:
m = [(5×88) – (15×25)]/(5×55) – (15)2
m = (440 – 375)/(275 – 225)
m = 65/50 = 13/10
Tính giá trị của b
Để tính giá trị của hệ số tự do b, ta sử dụng công thức sau:
b = (∑y – m∑x)/n
Thay giá trị của dữ liệu vào công thức:
b = (25 – 1.3×15)/5
b = (25 – 19.5)/5
b = 5.5/5
Vậy phương trình tối thiểu bình phương cần tìm là: y = mx + b = 13/10x + 5.5/5. Phương pháp tối thiểu bình phương được sử dụng để dự đoán hành vi của biến phụ thuộc đối với biến độc lập. Tổng bình phương sai số được gọi là phương sai. Mục tiêu chính của phương pháp tối thiểu bình phương là giảm thiểu tổng bình phương sai số. Phương pháp Ordinary Least Squares (OLS) được sử dụng để tìm mô hình dự đoán phù hợp nhất với các điểm dữ liệu của chúng ta. Có khác biệt giữa Least Squares và Linear Regression không? Linear Regression và Least Squares không giống nhau. Linear Regression là phân tích dữ liệu thống kê để dự đoán giá trị của biến định lượng. Least Squares là một trong các phương pháp được sử dụng trong Linear Regression để tìm mô hình dự đoán. Cách Outliers ảnh hưởng đến đường hồi quy Least-Squares là gì?
Cách thức Phương pháp Bình phương tối thiểu hoạt động như thế nào?
Sự hiện diện của điểm dữ liệu bất thường có thể làm nghiêng kết quả của hồi quy tuyến tính. Điều này làm cho tính hợp lệ của mô hình rất quan trọng để có được câu trả lời chính xác cho các câu hỏi thúc đẩy việc hình thành mô hình dự đoán.
Công thức Phương pháp Bình phương tối thiểu là gì?
Để xác định phương trình đường cho bất kỳ dữ liệu nào, chúng ta cần sử dụng phương trình y = mx + b. Công thức phương pháp bình phương tối thiểu là bằng cách tìm giá trị của cả m và b bằng cách sử dụng các công thức sau:
- m = (n∑xy – ∑y∑x) / n∑x2 – (∑x)2
- b = (∑y – m∑x) / n
Ở đây, n là số điểm dữ liệu.
Phương pháp Bình phương tối thiểu trong Hồi quy là gì?
Phương pháp hồi quy bình phương tối thiểu giúp tính toán đường thẳng phù hợp nhất của tập dữ liệu từ cả hai hoạt động và chi phí tổng thể tương ứng. Ý tưởng đằng sau tính toán là tối thiểu hoá tổng bình phương các sai số dọc theo các điểm dữ liệu và hàm chi phí.
Tại sao lại sử dụng Phương pháp Bình phương tối thiểu?
Bình phương tối thiểu được sử dụng như là tương đương với độ lớn tối đa khi các sai số của mô hình được phân bố chuẩn với trung bình bằng 0.
Bình phương tối thiểu phù hợp với đường cong là gì?
Phương pháp bình phương tối thiểu là quá trình khớp đường cong theo dữ liệu đã cho.
| x | y | xy |
|---|
Nguồn Tham Khảo : Bình phương tối thiểu
