Công thức Đạo hàm của Tan x
Đạo hàm của hàm tan x là bình phương của sec x. Trước khi chứng minh điều này, chúng ta cần nhớ một số sự thật về hàm tan x. Hàm tan x trong tam giác vuông là tỷ số giữa cạnh đối của x và cạnh kề của x và do đó nó có thể được viết dưới dạng (sin x) / (cos x). Chúng ta sử dụng điều này khi tính đạo hàm của hàm tan x. Đạo hàm của hàm tan x theo biến số x được ký hiệu bằng d / dx (tan x) (hoặc) (tan x) ‘và giá trị của nó bằng sec2x. Hàm tan x khả vi trong miền của nó. Để chứng minh đạo hàm của hàm tan x là sec2x, chúng ta sử dụng các công thức lượng giác hiện có và các quy tắc đạo hàm hiện có. Chúng ta có thể chứng minh điều này theo các cách sau:
- Chứng minh bằng nguyên lý đầu tiên
- Chứng minh bằng quy tắc chuỗi
- Chứng minh bằng quy tắc thương
Công thức đạo hàm của Tan x là:
d / dx (tan x) = sec2x (hoặc)
(tan x) ‘ = sec2x
Ví Dụ Đạo hàm của Tan x
Để tìm đạo hàm của hàm tan x, chúng ta giả định rằng f (x) = tan x. Sau đó, bằng chứng đạo hàm của nó được cho bởi giới hạn sau đây.
Chứng minh bằng nguyên lý đầu tiên:
Ta có:
f(x + h) = tan(x + h) = (tan x + tan h) / (1 – tan x * tan h)
Suy ra:
[f(x + h) – f(x)] / h = [tan(x + h) – tan x] / h
= [tan x + tan h – tan x] / [h * (1 – tan x * tan h)]
= tan h / [h * (1 – tan x * tan h)]
= [sin h / cos h] / [h * (cos x * cos h – sin x * sin h)]
= [1 / cos x * sin h / cos h] / [h * (1 – tan x * tan h)]
= 1 / cos x * [1 / h – tan x * tan h / h] / [1 – tan x * tan h]
Chứng minh đạo hàm của hàm Tan x
Chứng minh đạo hàm của Tan x bằng cách tính giới hạn
Đạo hàm của hàm Tan x có thể được chứng minh bằng cách tính giới hạn của tỉ số phương sai:
f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h … (1)
Vì f(x) = tan x, nên ta có f(x + h) = tan (x + h). Thay vào (1), ta có:
f'(x) = limₕ→₀ [tan(x + h) – tan x] / h
= limₕ→₀ [ [sin (x + h) / cos (x + h)] – [sin x / cos x] ] / h
= limₕ→₀ [ [sin (x + h ) cos x – cos (x + h) sin x] / [cos x · cos(x + h)] ]/ h
Sử dụng công thức cộng-trừ, ta có sin A cos B – cos A sin B = sin (A – B). Vậy
f'(x) = limₕ→₀ [ sin (x + h – x) ] / [ h cos x · cos(x + h)]
= limₕ→₀ [ sin h ] / [ h cos x · cos(x + h)]
Sử dụng công thức giới hạn, ta có limₕ→₀ (sin h)/ h = 1. Vậy
f'(x) = 1 [ 1 / (cos x · cos(x + 0))] = 1/cos2x
Ta biết rằng nghịch đảo của cos là sec. Vậy
f'(x) = sec2x.
Chứng minh đạo hàm của Tan x bằng cách áp dụng quy tắc thương
Chúng ta có thể áp dụng quy tắc thương để tính đạo hàm của Tan x. Đầu tiên, ta viết Tan x dưới dạng phân số. Ta biết rằng Tan x = (sin x)/(cos x). Ta giả sử rằng y = (sin x)/(cos x). Sau đó, ta áp dụng quy tắc thương:
y’ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos2x)
= [cos x · cos x – sin x (-sin x)] / (cos2x)
= [cos2x + sin2x] / (cos2x)
Sử dụng một trong những công thức định lý Pythagore, cos2x + sin2x = 1. Vậy
y’ = 1 / (cos2x) = sec2x
Tính đạo hàm của hàm Tan x theo x?
Đạo hàm của hàm Tan x theo x là bình phương của hàm sec x, tức là d/dx(tan x) = sec2x. Nó cũng có thể được viết dưới dạng (tan x)’ = sec2x.
Làm thế nào để tìm công thức đạo hàm của hàm Tan x?
Giả sử y = tan x. Ta có tan x = sin x/cos x. Áp dụng quy tắc phân thức, ta có y’ = [cos x · d/dx(sin x) – sin x · d/dx(cos x)] / (cos2x) = [cos2x + sin2x] / (cos2x) = 1/(cos2x) = sec2x.
Đạo hàm của hàm Tan x2?
Chúng ta biết rằng d/dx(tan x) = sec2x. Vì vậy d/dx(tan x2) = sec2x2 d/dx(x2) = 2xsec2x2 (bằng quy tắc chuỗi).
Đạo hàm của hàm Tan x theo Cos x?
Chúng ta biết rằng đạo hàm của hàm tan x là sec2x. Hơn nữa, sec x = 1/(cos x). Vì vậy d/d(tan x) = 1/cos2x.
Đạo hàm của hàm Tan⁻¹x?
Bằng cách sử dụng đạo hàm của hàm tan x và quy tắc chuỗi, d/dx(tan⁻¹x) = sec2x⁻¹ d/dx(x⁻¹) = sec2x⁻¹ (-1 x⁻²) = (-sec2x⁻¹)/(x²).
Sự khác biệt giữa Đạo hàm của hàm Tan x và Đạo hàm ngược của hàm Tan x là gì?
Không, đạo hàm của hàm tan x và đạo hàm ngược của hàm tan⁻¹x là khác nhau. Đạo hàm của hàm tan x là sec2x trong khi đạo hàm ngược của hàm tan⁻¹x là 1/(1 + x²).
Nguồn Tham Khảo: Đạo Hàm
