Phương trình đường tròn cung cấp một cách đại số để miêu tả một đường tròn, biết tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. Phương trình của một đường tròn khác với các công thức được sử dụng để tính diện tích hoặc chu vi của đường tròn. Phương trình này được sử dụng trong nhiều bài toán về đường tròn trong hình học tọa độ.

Phương trình đường tròn là gì?

Một phương trình của đường tròn biểu thị vị trí của một đường tròn trên mặt phẳng Descartes. Nếu chúng ta biết tọa độ của tâm đường tròn và độ dài bán kính, chúng ta có thể viết phương trình đường tròn. Phương trình của đường tròn biểu thị tất cả các điểm nằm trên chu vi của đường tròn. Một đường tròn biểu thị tập hợp các điểm có khoảng cách tới một điểm cố định là một giá trị hằng số. Điểm cố định này được gọi là tâm đường tròn và giá trị hằng số là bán kính r của đường tròn. Phương trình tiêu chuẩn của đường tròn với tâm tại $(x_1, y_1)$ và bán kính r là $ (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$.

Phương trình đường tròn – Công thức và ví dụ

Một đường tròn có thể được vẽ trên một tấm giấy dựa vào tâm và bán kính của nó. Sử dụng phương trình đường tròn, khi chúng ta tìm thấy tọa độ của tâm và bán kính, chúng ta có thể vẽ đường tròn trên mặt phẳng Descartes. Có nhiều hình thức khác nhau để biểu diễn phương trình của một đường tròn, bao gồm:

Hình thức tổng quát
Hình thức tiêu chuẩn
Hình thức tham số
Hình thức cực

Hãy cùng xem hai hình thức phổ biến của phương trình đường tròn – hình thức tổng quát và hình thức tiêu chuẩn của phương trình đường tròn cùng với hình thức tham số và hình thức cực một cách chi tiết.

Phương trình tổng quát của đường tròn

Hình thức tổng quát của phương trình đường tròn là: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0. Hình thức tổng quát này được sử dụng để tìm tọa độ của tâm và bán kính, trong đó g, f, c là các hằng số. Khác với hình thức tiêu chuẩn dễ hiểu hơn, hình thức tổng quát của phương trình đường tròn làm cho việc tìm bất kỳ tính chất có ý nghĩa nào về bất kỳ đường tròn nào trở nên khó khăn hơn. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng công thức hoàn thành khối để chuyển đổi nhanh từ hình thức tổng quát sang hình thức tiêu chuẩn.

Phương trình tiêu chuẩn của đường tròn

Hình thức tiêu chuẩn của phương trình đường tròn với tâm ở (x₁, y₁) và bán kính r là: (x – x₁)² + (y – y₁)² = r². Hình thức tiêu chuẩn của phương trình đường tròn dễ hiểu hơn và cho phép chúng ta dễ d

Phương trình chuẩn của đường tròn

Phương trình chuẩn của đường tròn cung cấp thông tin chính xác về tâm và bán kính của đường tròn và do đó, nó dễ dàng để đọc tâm và bán kính của đường tròn chỉ với một cái nhìn. Phương trình chuẩn của một đường tròn có tâm tại $(x_1, y_1)$ và bán kính r là $ (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$, trong đó (x, y) là một điểm tùy ý trên chu vi của đường tròn. Khoảng cách giữa điểm này và tâm bằng với bán kính của đường tròn. Hãy áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm đến hai điểm này. $\sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2} = r$

Bình phương cả hai vế, ta có được phương trình chuẩn của đường tròn:

$(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$

Hãy xem xét ví dụ về phương trình đường tròn (x – 4)2 + (y – 2)2 = 36 là một đường tròn tâm tại (4,2) với bán kính bằng 6.

Phương trình tham số của đường tròn

Chúng ta biết rằng dạng tổng quát của phương trình đường tròn là x2 + y2 + 2hx + 2ky + C = 0. Chúng ta lấy một điểm chung trên ranh giới của đường tròn, ví dụ như (x, y). Đường nối điểm chung này và tâm của đường tròn (-h, -k) tạo thành một góc $\theta$.

Công thức Phương trình đường tròn

Công thức phương trình đường tròn được sử dụng để tính phương trình của đường tròn. Chúng ta có thể tìm thấy phương trình của bất kỳ đường tròn nào, cho trước tọa độ của tâm và bán kính của đường tròn bằng cách áp dụng công thức phương trình đường tròn. Công thức phương trình đường tròn được cho là $(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$. ở đó, $(x_1, y_1)$ là tâm của đường tròn với bán kính r và (x, y) là một điểm tùy ý trên chu vi của đường tròn.

Công thức cực của đường tròn

Công thức cực của đường tròn gần giống với công thức tham số của đường tròn. Thông thường, chúng ta viết công thức cực của đường tròn cho đường tròn có tâm tại gốc tọa độ. Giả sử có một điểm P(rcosθ, rsinθ) trên ranh giới của đường tròn, với r là khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ. Chúng ta biết rằng phương trình của đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính ‘p’ là x2 + y2 = p2. Thay giá trị x = rcosθ và y = rsinθ vào phương trình của đường tròn. Ta có:

(rcosθ)2 + (rsinθ)2 = p2

r2cos2θ + r2sin2θ = p2

r2(cos2θ + sin2θ) = p2

r2(1) = p2

r = p

trong đó p là bán kính của đường tròn. Ví dụ: Tìm phương trình đường tròn dưới dạng cực, biết rằng phương trình đường tròn dưới dạng tiêu chuẩn là: x2 + y2 = 9.

Giải pháp:

Để tìm phương trình đường tròn trong dạng cực, thay các giá trị của $x$ và $y$ bằng:

x = rcosθ

y = rsinθ

x2 + y2 = 9

(rcosθ)2 + (rsinθ)2 = 9

r2cos2θ + r2sin2θ = 9

r2(cos2θ + sin2θ) = 9

r2(1) = 9

r = 3

Ví dụ

Phương trình của một đường tròn được cho bởi:

$$(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$$

Ví dụ: Sử dụng công thức phương trình của đường tròn, tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9.

Giải:

Chúng ta sẽ sử dụng công thức phương trình của đường tròn để xác định tâm và bán kính của đường tròn. So sánh phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 với (x – x_1)2 + (y – y_1)2 = r^2, ta có:

$$x_1 = 1, y_1 = -2 \text{ và } r = 3$$

Vậy, tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là (1, -2) và 3.

Để minh họa cách phương trình đường tròn hoạt động, hãy vẽ đồ thị cho đường tròn có phương trình (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9. Trước khi vẽ, ta cần đảm bảo rằng phương trình đã cho phù hợp với dạng chuẩn (x – x_1)2 + (y – y_1)2 = r^2. Để làm điều này, chúng ta chỉ cần thay đổi hằng số 9 để phù hợp với r^2 là (x – 3)2 + (y – 2)2 = 32. Tại đây, ta cần lưu ý rằng một trong những lỗi thường gặp là xem x_1 là -3 và y_1 là -2.

Cách tìm phương trình đường tròn?

Có rất nhiều cách khác nhau để biểu diễn phương trình đường tròn phụ thuộc vào vị trí của đường tròn trên mặt phẳng Descartes. Chúng ta đã tìm hiểu các dạng để biểu diễn phương trình đường tròn cho các tọa độ trung tâm của đường tròn cho trước. Có một số trường hợp đặc biệt dựa trên vị trí của đường tròn trên mặt phẳng tọa độ. Hãy tìm hiểu về phương pháp để tìm phương trình đường tròn cho các trường hợp này.

Phương trình đường tròn với tâm tại (x₁, y₁)

Để viết phương trình đường tròn với tâm tại (x₁, y₁), chúng ta sẽ sử dụng các bước sau đây:

Bước 1: Ghi lại tọa độ của tâm của đường tròn (x₁, y₁) và bán kính ‘r’.

Phương trình đường tròn với tâm ở gốc tọa độ

Trường hợp đơn giản nhất là khi tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), có bán kính là r. (x, y) là một điểm tùy ý trên chu vi của đường tròn. Khoảng cách giữa điểm này và tâm bằng bán kính của đường tròn. Hãy áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm. $ \sqrt{(x – 0)^2 + (y – 0)^2} = r$

Bình phương hai vế, ta được:

$ (x – 0)^2 + (y – 0)^2 = r^2$

$ x^2 + y^2 = r^2$

Ví dụ: Phương trình đường tròn sẽ là gì nếu tâm nó nằm ở gốc tọa độ? Giải:

Phương trình đường tròn được cho bởi $(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$. Nếu tâm ở gốc tọa độ, thì $x_1$ = 0 và $y_1$ = 0. Đáp án: Phương trình đường tròn nếu tâm nó nằm ở gốc tọa độ là x² + y² = r².

Phương trình đường tròn với tâm trên trục hoành

Xét trường hợp tâm đường tròn nằm trên trục hoành: (a, 0) là tâm đường tròn có bán kính r.

Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn với tâm nằm trên trục y

Giả sử tâm đường tròn nằm trên trục y tại điểm (0, b) với bán kính r. (x, y) là một điểm bất kỳ trên đường tròn. Khoảng cách giữa điểm này và tâm đường tròn bằng bán kính của đường tròn. Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm ta có:

$$\sqrt{(x – 0)^2 + (y – b)^2} = r$$
Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có:

$$(x)^2 + (y – b)^2 = r^2$$

Phương trình đường tròn tiếp xúc với trục x

Giả sử đường tròn tiếp xúc với trục x tại điểm (a, r) với bán kính r. Nếu một đường tròn tiếp xúc với trục x, thì hoành độ của tâm đường tròn bằng bán kính r.
(x, y) là một điểm bất kỳ trên đường tròn.

Giải phương trình đường tròn

Cho phương trình đường tròn $ x^2 + y^2 +6x + 8y + 9 = 0$.

Phương trình chung của đường tròn với tâm $(x_1, y_1)$ và bán kính $r$ là $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ trong đó:

$A = -2x_1$
$B = -2y_1$
$C = {x_1}^2 + {y_1}^2 -r^2$

Từ phương trình đường tròn $ x^2 + y^2 +6x + 8y + 9 = 0$ ta có:

$A = 6$
$-2x_1 = 6 \Rightarrow x_1 = -3$
$B = 8$
$-2y_1 = 8 \Rightarrow y_1 = -4$
$C = 9$
${x_1}^2 + {y_1}^2 -r^2 = 9 $
${(-3)}^2 + {(-4)}^2 -r^2 = 9 $
$9 + 16 -r^2 = 9 $
$r^2 = 16 $
$r = 4 $

Chuyển đổi phương trình chung thành phương trình tiêu chuẩn:

Phương trình tiêu chuẩn của đường tròn, với bán kính $r$ và tâm tại $(a,b)$ là: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ và xem phương trình chung dưới dạng: $ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$.

Viết công thức phương trình đường tròn theo dạng tổng quát

Ví dụ, tâm của đường tròn là (1,1) và bán kính là 2 đơn vị, thì phương trình tổng quát của đường tròn có thể được tính bằng cách thay các giá trị của tâm và bán kính vào phương trình. Phương trình tổng quát của đường tròn là $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. $\text{A} = -2 \times 1 = -2$ $\text{B} = -2 \times 1 = -2$ $\text{C} = 1^2 + 1^2 – 2^2 = -2$ Do đó, dạng tổng quát của phương trình đường tròn là $x^2 + y^2 – 2x – 2y – 2 = 0$.

Viết công thức phương trình đường tròn theo dạng chuẩn

Dạng chuẩn của phương trình đường tròn là $(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2$, trong đó $(x_1, y_1)$ là tọa độ của tâm đường tròn và $r$ là bán kính của đường tròn.

Chuyển đổi từ dạng chuẩn sang dạng tổng quát của phương trình đường tròn

Hãy chuyển đổi phương trình đường tròn: ${(x – 1)}^2 + {(y – 2)}^2 = 4$ từ dạng chuẩn sang dạng tổng quát. ${(x – 1)}^2 + {(y – 2)}^2 = 4 \\ x^2 + 1 – 2x + y^2 + 4 – 4y = 4 \\ x^2 + y^2 – 2x – 4y + 1 = 0 $ Phương trình trên là dạng tổng quát của phương trình đường tròn.

Viết phương trình đường tròn theo dạng chuẩn với điểm cuối

Hãy lấy hai điểm cuối của đường kính là (1,1) và (3,3) để viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn.

Tính phương trình chuẩn của đường tròn từ tọa độ trung điểm và bán kính

Đầu tiên, tính tọa độ tâm bằng công thức tìm điểm chia đoạn. Tọa độ của tâm sẽ là (2, 2). Thứ hai, tính bán kính bằng công thức khoảng cách giữa (1, 1) và (2, 2). Bán kính bằng $\sqrt{2}$. Bây giờ, phương trình đường tròn trong dạng chuẩn là ${(x – 2)}^2 + {(y – 2)}^2 = 2$.

Phương Trình Cực của Đường Tròn là Gì?

Phương trình cực của đường tròn có tâm tại gốc tọa độ là r = p, trong đó p là bán kính của đường tròn.

Phương trình đường tròn tiếp xúc với trục y

Xét trường hợp chu vi của đường tròn tiếp xúc với trục y tại một điểm: (r, b) là trung tâm của đường tròn có bán kính r. Nếu một đường tròn tiếp xúc với trục y, thì tọa độ x của trung tâm của đường tròn bằng bán kính r.

(x, y) là một điểm tùy ý trên chu vi của đường tròn. Khoảng cách giữa điểm này và trung tâm bằng bán kính của đường tròn. Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm. $\sqrt{(x – r)^2 + (y – b)^2} = r$.

Bình phương cả hai vế ta có: $(x – r)^2 + (y – b)^2 = r^2$.

Phương trình đường tròn tiếp xúc với cả hai trục

Xét trường hợp chu vi của đường tròn tiếp xúc với cả hai trục tại một điểm: (r, r) là trung tâm của đường tròn có bán kính r. Nếu một đường tròn tiếp xúc với cả trục x và trục y, thì cả hai tọa độ của trung tâm đều bằng bán kính (r, r).