Định lý Pythagoras, còn được gọi là định lý Pythagorean, giải thích mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Theo định lý Pythagoras, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh kia của tam giác. Hãy tìm hiểu thêm về định lý Pythagoras, công thức định lý Pythagoras và chứng minh định lý Pythagoras cùng với các ví dụ.
Định lý Pythagoras là gì?
Định lý Pythagoras nêu rõ rằng nếu một tam giác là tam giác vuông, thì bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh kia. Ta hãy quan sát tam giác ABC dưới đây, trong đó chúng ta có BC2 = AB2 + AC2. Ở đây, AB là đáy, AC là đường cao (chiều cao) và BC là cạnh huyền. Chú ý rằng cạnh huyền là cạnh dài nhất của tam giác vuông.
Công thức và Lịch sử định lý Pythagoras
Lịch sử của Định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras được giới thiệu bởi nhà toán học Hy Lạp Pythagoras của đảo Samos. Ông là một nhà triết học Hy Lạp cổ đại thành lập một nhóm các nhà toán học làm việc một cách sùng đạo với số học và sống như những người tu sĩ. Mặc dù Pythagoras đã giới thiệu định lý, nhưng có bằng chứng chứng minh rằng nó đã tồn tại ở các nền văn minh khác, 1000 năm trước khi Pythagoras sinh ra. Bằng chứng cổ nhất được biết đến có từ thời kỳ Babylon cũ, từ thế kỷ 20 đến thế kỷ 16 trước Công nguyên.
Công thức Định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras cho biết nếu một tam giác là tam giác vuông, thì bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh kia. Nếu AB và AC là hai cạnh và BC là cạnh huyền của tam giác, thì:
BC2 = AB2 + AC2.
Trong trường hợp này, AB là đáy, AC là độ cao, và BC là cạnh huyền.
Do đó, bất kỳ tam giác nào có một góc bằng 90 độ đều tạo thành một tam giác Pythagoras và phương trình Pythagoras có thể được áp dụng trong tam giác đó.
Cách hiểu công thức định lý Pythagoras
Một cách khác để hiểu công thức định lý Pythagoras là sử dụng hình vẽ sau đây, cho thấy diện tích của hình vuông được tạo thành bởi cạnh dài nhất của tam giác vuông (đáy huyền) bằng tổng diện tích của hai hình vuông được tạo thành bởi hai cạnh còn lại của tam giác vuông. Trong một tam giác vuông, công thức định lý Pythagoras được biểu diễn như sau: c2 = a2 + b2 Trong đó, ‘c’ = đáy huyền của tam giác vuông ‘a’ và ‘b’ là hai cạnh còn lại.
Chứng minh định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras có thể được chứng minh theo nhiều cách. Một số phương pháp phổ biến và được sử dụng rộng rãi là phương pháp đại số và phương pháp tam giác đồng dạng. Hãy xem xét cả hai phương pháp này một cách riêng biệt để hiểu rõ chứng minh của định lý này.
Chứng minh công thức định lý Pythagoras bằng phương pháp đại số
Công thức định lý Pythagoras có thể được chứng minh bằng phương pháp đại số. Ví dụ, hãy sử dụng các giá trị a, b và c như được hiển thị trong hình vẽ sau đây và thực hiện các bước sau đây:
- Bước 1: Phương pháp này còn được gọi là ‘chứng minh bằng sắp xếp lại’. Lấy 4 tam giác vuông đồng dạng, với độ dài hai cạnh bằng ‘a’ và ‘b’, và độ dài đáy huyền bằng ‘c’.
Chứng minh công thức định lý Pythagoras bằng phương pháp tam giác đồng dạng
Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu các góc tương ứng của chúng có độ đo bằng nhau và các cạnh tương ứng của chúng có tỷ lệ bằng nhau. Ngoài ra, nếu các góc có độ đo bằng nhau, ta có thể sử dụng định luật sin để nói rằng các cạnh tương ứng cũng sẽ có tỷ lệ bằng nhau. Do đó, các góc tương ứng trong các tam giác đồng dạng dẫn đến tỷ lệ bằng nhau của độ dài cạnh.
Chứng minh công thức định lý Pythagoras bằng phương pháp đại số
Công thức định lý Pythagoras có thể được chứng minh bằng phương pháp đại số. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng các giá trị a, b, và c như trong hình sau đây và làm theo các bước sau:
- Bước 1: Phương pháp này còn được gọi là ‘chứng minh bằng sắp xếp lại’. Lấy 4 tam giác vuông đồng dạng, với độ dài cạnh là ‘a’ và ‘b’, và độ dài đường chéo là ‘c’.
- Bước 2: Bốn tam giác tạo thành hình vuông WXYZ như được hiển thị, với ‘c’ là bốn cạnh.
- Bước 3: Diện tích của hình vuông WXYZ bằng c2 do sắp xếp bốn tam giác.
- Bước 4: Diện tích của hình vuông PQRS có cạnh (a + b) = Diện tích 4 tam giác + Diện tích hình vuông WXYZ có cạnh là ‘c’. Điều này có nghĩa là (a + b)2 = [4 × 1/2 × (a × b)] + c2. Từ đó, suy ra a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2. Do đó, a2 + b2 = c2. Vậy là đã chứng minh được công thức định lý Pythagoras.
Định lý Pythagoras có nhiều cách chứng minh khác nhau, nhưng phương pháp đại số và phương pháp tam giác đồng dạng là hai phương pháp phổ biến và được sử dụ
Tam giác định lý Pythagoras
Tam giác vuông tuân theo định lý Pythagoras và chúng được gọi là tam giác định lý Pythagoras. Ba cạnh của một tam giác định lý Pythagoras được gọi là bộ ba Pythagoras. Tất cả các tam giác định lý Pythagoras đều tuân theo định lý Pythagoras, tức là bình phương của độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh của tam giác vuông. Điều này có thể được biểu diễn như c2 = a2 + b2, trong đó ‘c’ là cạnh huyền và ‘a’ và ‘b’ là hai cạnh của tam giác.
Định lý Pythagoras về các hình vuông
Theo định lý Pythagoras, diện tích của hình vuông được xây dựng trên đường chéo của tam giác vuông bằng tổng diện tích của các hình vuông được xây dựng trên hai cạnh góc vuông còn lại. Những hình vuông này được gọi là hình vuông Pythagoras.
Ứng dụng của định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras được áp dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Dưới đây là một số ứng dụng của định lý Pythagoras:
Trong lĩnh vực kỹ thuật và xây dựng
Phần lớn các kiến trúc sư sử dụng kỹ thuật của định lý Pythagoras để tìm các kích thước không rõ. Khi chiều dài hoặc chiều rộng đã biết, rất dễ tính toán đường kính của một phần tử cụ thể. Nó được sử dụng chủ yếu trong hai chiều trong các lĩnh vực kỹ thuật.
Trong việc nhận dạng khuôn mặt trên camera an ninh
Tính năng nhận dạng khuôn mặt trên camera an ninh sử dụng khái niệm của định lý Pythagoras, nghĩa là khoảng cách giữa camera an ninh và vị trí của người được ghi nhận và phóng to thông qua ống kính bằng cách sử dụng khái niệm này.
Trong đồ gỗ và thiết kế nội thất
Khái niệm Pythagoras được áp dụng trong thiết kế nội thất và kiến trúc của các ngôi nhà và tòa nhà.
Công thức Định lý Pythagoras trong Toán học
Người đi biển sử dụng kỹ thuật này để tìm khoảng cách và tuyến đường ngắn nhất đến địa điểm quan tâm của họ. Định lý Pythagoras cho biết trong một tam giác vuông, bình phương của đường chéo là bằng tổng bình phương của hai cạnh kia. Công thức này có thể được biểu diễn như c2 = a2 + b2; trong đó ‘c’ là đường chéo và ‘a’ và ‘b’ là hai cạnh của tam giác. Những tam giác này còn được gọi là tam giác định lý Pythagoras.
Đảo ngược của Định lý Pythagoras
Đảo ngược của định lý Pythagoras là: Nếu tổng bình phương của hai cạnh của một tam giác bằng với bình phương của cạnh thứ ba (lớn nhất), thì nó được gọi là một tam giác vuông.
Ứng dụng của Công thức Định lý Pythagoras
Công thức Định lý Pythagoras chỉ hoạt động với các tam giác vuông. Khi có bất kỳ hai giá trị nào được biết đến, chúng ta có thể áp dụng định lý Pythagoras và tính toán các cạnh chưa biết của tam giác. Có các ứng dụng thực tế khác của định lý Pythagoras như trong lĩnh vực định hướng, kỹ thuật và kiến trúc.
Ứng dụng của Định lý Pythagoras trong cuộc sống
Các ngành kiến trúc sử dụng kỹ thuật định lý Pythagoras để tìm các kích thước chưa biết. Khi chiều dài hoặc chiều rộng được biết, rất dễ tính toán đường kính của một phần cụ thể. Nó chủ yếu được sử dụng trong hai chiều trong các lĩnh vực kỹ thuật. Tính năng nhận diện khuôn mặt trong camera an ninh sử dụng khái niệm của định lý Pythagoras để ghi nhận khoảng cách giữa camera an ninh và vị trí của người dùng và hiển thị thông qua ống kính. Khái niệm Pythagoras được áp dụng trong thiết kế nội thất và kiến trúc của các tòa nhà.
Tại sao định lý Pythagoras quan trọng?
Định lý Pythagoras quan trọng vì nó giúp tính toán cạnh không xác định của một tam giác vuông. Nó còn có các ứng dụng thực tiễn khác trong lĩnh vực kiến trúc và kỹ thuật, điều hướng, và còn nhiều hơn nữa.
Định lý Pythagoras được sử dụng như thế nào trong điều hướng?
Định lý Pythagoras thường được sử dụng trong điều hướng hàng không và điều hướng tàu thủy. Định lý Pythagoras cung cấp một cách cho thuyền trưởng tính toán khoảng cách đến một điểm trên đại dương, ví dụ như nếu khoảng cách giữa hai điểm được cho là 600 km về phía bắc và 800 km về phía tây, khoảng cách cần tính có thể được tính bằng định lý Pythagoras.
Khi nào sử dụng định lý Pythagoras?
Định lý Pythagoras được sử dụng khi đã biết hai cạnh của một tam giác vuông và cần tính cạnh thứ ba.
Tính độ dài cạnh tam giác vuông bằng Định lý Pythagoras
Ví dụ, nếu chiều cao và đáy của tam giác vuông là 12 đơn vị và 5 đơn vị tương ứng, và chúng ta cần tìm cạnh thứ ba (đoạn còn lại – cạnh huyền) chúng ta có thể tính được bằng định lý cạnh huyền bằng cách sử dụng công thức hypotenuse2 = perpendicular2 + base2. Sau khi thay giá trị vào phương trình, ta được hypotenuse2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169. Vì vậy, cạnh huyền = √169 = 13 đơn vị.
Tính chất Pythagoras của tam giác
Tính chất Pythagoras của tam giác là thuật ngữ khác để chỉ Định lý Pythagoras. Theo tính chất Pythagoras, trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền luôn bằng tổng bình phương hai cạnh kia. Định lý này được biểu diễn như sau: c2 = a2 + b2; trong đó ‘c’ là cạnh huyền và ‘a’ và ‘b’ là hai cạnh của tam giác.
Tham khảo từ : Định lý Pythagoras
