lũy thừa là gì- Công thức, Quy tắc, lý thuyết, Ứng dụng

Giới thiệu về quy tắc lũy thừa trong tính toán

Quy tắc lũy thừa trong tính toán là một phương pháp phân biệt được sử dụng khi cần phân biệt một biểu thức đại số với lũy thừa. Nói một cách đơn giản, chúng ta có thể nói rằng quy tắc lũy thừa được sử dụng để phân biệt các biểu thức đại số có dạng xn, trong đó n là một số thực. Để phân biệt xn, chúng ta đơn giản chỉ cần nhân lũy thừa n với biểu thức và giảm lũy thừa đi 1. Do đó, công thức tổng quát cho đạo hàm quy tắc lũy thừa được cho bởi, d(xn)/dx = nxn-1. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm về đạo hàm quy tắc lũy thừa và công thức tổng quát của nó. Chúng ta cũng sẽ chứng minh công thức tổng quát của quy tắc lũy thừa và hiểu ứng dụng của nó thông qua các ví dụ đã giải quyết để có được sự hiểu biết tốt hơn. Ngoài ra, chúng ta sẽ thảo luận về một số quy tắc lũy thừa khác trong tính toán được sử dụng trong tích phân, lũy thừa và hàm logarit.

Khái niệm về Quy tắc lũy thừa

Quy tắc lũy thừa để phân biệt các biểu thức đại số với lũy thừa, tức là nếu biểu thức đại số có dạng xn, trong đó n là một số thực, thì chúng ta sử dụng quy tắc lũy thừa để phân biệt nó.

Công thức quy tắc lũy thừa

Áp dụng quy tắc lũy thừa, đạo hàm của xn được viết dưới dạng tích của số mũ với biểu thức và giảm số mũ đi 1 đơn vị. Vì vậy, đạo hàm của xn được viết dưới dạng nxn-1. Điều này áp dụng cho các số mũ dương, âm và phân số. Quy tắc lũy thừa cũng có thể được sử dụng để tính đạo hàm của đa thức.

Công thức tổng quát cho việc tích phân biểu thức đại số bằng cách sử dụng quy tắc lũy thừa được cho bởi, d(xn)/dx HOẶC (xn)’ = nxn-1, trong đó n là một số thực.

Chứng minh quy tắc lũy thừa

Sau khi biết công thức cho quy tắc lũy thừa, chúng ta sẽ chứng minh công thức bằng các

ví dụ Luật Lũy Thừa sử dụng Phương pháp Quy nạp Toán học

Sử dụng nguyên tắc quy nạp toán học, chúng ta sẽ chứng minh công thức d(xn)/dx = nxn-1 cho các giá trị nguyên dương của n. Ở đây, tuyên bố của chúng ta là P(n): d(xn)/dx = nxn-1. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh điều này đối với n = 1. Sau đó, giả định P(n) đúng với n = k, chúng ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k+1.

Bước 1:

Giả định n = 1, khi đó ta có LHS = dx/dx = 1 (vì đạo hàm của x bằng 1). Ngoài ra, RHS = 1.x1-1 = 1.x0 = 1. Do đó, ta có LHS = RHS. Vì vậy, P(1) đúng. — (1)

Bước 2:

Giả định P(k) đúng, tức là d(xk)/dx = kxk-1 — (2)

Bước 3:

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh P(n) đúng với n = k + 1, tức là chúng ta cần chứng minh d(xk+1)/dx = (k+1)xk

Xét LHS = d(xk+1)/dx = d(xk.x)/dx — [Sử dụng luật mũ] = d(xk)/dx × x + dx/dx × xk — [Sử dụng quy tắc tích] = kxk-1 × x + 1 × xk [Từ (1) và (2)] = kxk-1+1 + xk = kxk + xk = (k+1) xk = RHS

Do đó, P(k+1) đúng. Do đó, sử dụng nguyên tắc quy nạp toán học, chúng ta đã chứng minh rằng P(n): d(xn)/dx = nxn-1 đúng với tất cả các số tự nhiên và do đó, chúng ta đã chứng minh được công thức Luật Lũy Thừa cho việc đạo hàm.

quy tắc lũy thừa sử dụng định lý nhị thức

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh công thức quy tắc lũy thừa chung cho việc tính

Luật lũy thừa trong vi phân

Công thức lấy đạo hàm của xn:

d(xn)/dx = d(x-m)/dx

= d(1/xm)/dx — [Sử dụng luật mũ]

= [d(1)/dx × xm – d(xm)/dx] / (xm)2 — [Sử dụng luật phân thức cho đạo hàm]

= [0 – mxm-1] / (xm)2

= – m xm-1 / x2m — [Sử dụng luật mũ: (am)n = amn]

= -mxm-1-2m

= -mx-m-1

= nxn – 1 — [Vì n = -m]

Do đó, với tất cả các số nguyên âm, công thức lấy đạo hàm của xn = nxn-1 là đúng. Tương tự, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân biệt ngầm để chứng minh công thức cho lũy thừa hữu tỉ. Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng công thức d(xn)/dx = nxn-1 đúng với tất cả các số thực n.

Ứng dụng của luật lũy thừa

Ví dụ về cách áp dụng luật lũy thừa cho việc lấy đạo hàm của đa thức:

Giả sử chúng ta có hàm số f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8. Chúng ta sẽ tìm đạo hàm của f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8 bằng cách sử dụng công thức lấy đạo hàm theo luật lũy thừa. Trong biểu thức này, lũy thừa của x có cả dấu âm và dấu dương.

Ví dụ Tính đạo hàm của đa thức

Ví dụ 1: Đa thức bậc bốn với các hạng tử chứa $x^n$

Để tìm đạo hàm của $f(x) = 3x^4 – 2x^{-2} + x – 8$, ta sử dụng công thức tổng quát cho đạo hàm của tổng các hàm là tích của các đạo hàm của các hàm đó, tức là $(u + v)’ = u’ + v’$. Do đó, ta có:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4 – 2x^{-2} + x – 8)$$

$$= \frac{d}{dx}(3x^4) – \frac{d}{dx}(2x^{-2}) + \frac{d}{dx}(x) – \frac{d}{dx}(8)$$

$$= 3\frac{d}{dx}(x^4) – 2\frac{d}{dx}(x^{-2}) + \frac{d}{dx}(x) – 0\frac{d}{dx}(8x^0)$$

$$= 3 \times 4x^{4-1} – 2 \times (-2)x^{-2-1} + 1x^{1-1} – 0x^{0-1}$$

Áp dụng công thức đạo hàm theo quy tắc mũ:

$$= 12x^3 + 4x^{-3} + 1x^0 – 0$$

$$= 12x^3 + 4x^{-3} + 1$$

Vậy, chúng ta đã tìm được đạo hàm của một đa thức chứa các hạng tử có dạng $x^n$ bằng công thức quy tắc mũ.

Ví dụ 2: Đa thức với các hạng tử có mũ số hữu tỉ

Bây giờ, chúng ta xét đa thức $g(x) = x^{-4} + x^{3/4} – 7x^{1/9} + 3$ và áp dụng công thức quy tắc mũ để tính đạo hàm của nó.

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-4} + x^{3/4} – 7x^{1/9} + 3)$$

$$= -4x^{-4-1} + \frac{3}{4}x^{3/4-1} – \frac{7}{9}x^{1/9-1} + 0$$

Áp dụng công thức đạo hàm theo quy tắc mũ:

$$= -\frac{4}{x^5} + \frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt[4]{x}} – \frac{7}{9}\frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$$

$$= -\

Đạo hàm theo Quy tắc Lũy thừa

Đạo hàm theo quy tắc lũy thừa được sử dụng để tìm đạo hàm của các biểu thức có dạng xn, với n là số thực. Công thức cho quy tắc này là, (xn)’ = nxn-1. Ví dụ, đạo hàm của f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8 được tính bằng cách sử dụng quy tắc này như sau:

f'(x) = d(3×4 – 2x-2 + x – 8)/dx

= d(3×4)/dx – d(2x-2)/dx + dx/dx – d(8)/dx

= 3d(x4)/dx – 2d(x-2)/dx + dx/dx – d(8×0)/dx

= 3 × 4×4-1 – 2 × (-2)x-2-1 + 1×1-1 – 0x0-1

= 12×3 + 4x-3 + 1×0 – 0

= 12×3 + 4x-3 + 1

Do đó, chúng ta đã tìm được đạo hàm của một đa thức bao gồm các thuật ngữ có dạng xn bằng cách sử dụng quy tắc lũy thừa. Bây giờ, hãy xem xét một biểu thức đại số với số mũ phân số và áp dụng công thức để tìm đạo hàm của nó. Xét đa thức g(x) = x-4 + x3/4 -7×1/9 + 3. Bây giờ, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của g(x) bằng cách sử dụng quy tắc lũy thừa.

g'(x) = d(x-4 + x3/4 -7×1/9 + 3)/dx

= d(x-4)/dx + d(x3/4)/dx – 7d(x1/9)/dx + d(3×0)/dx

= -4x-4-1 + (3/4) x3/4 – 1 – 7 × (1/9) x1/9-1 + 3 × 0x0-1

= -4x-5 + (3/4) x-1/4 – (7/9) x-8/9 + 0</p

Phương trình quy tắc mũ

Trong giải tích, chúng ta sử dụng quy tắc mũ để đạo hàm, tích phân và đơn giản hóa các hàm số mũ và logarit. Quy tắc mũ có thể được sử dụng để tính giá trị của các biểu thức có dạng xn, với n là một số thực và n ≠ -1. Công thức quy tắc mũ để tính đạo hàm là:

d(xⁿ)/dx = nx^n-1

Ví dụ, đạo hàm của hàm số f(x) = x³ là:

f'(x) = d(x³)/dx = 3x^3-1 = 3x²

Công thức quy tắc mũ cũng có thể được sử dụng để tính tích phân của các biểu thức có dạng xn:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

Ví dụ:

∫x³ dx = x³⁺¹/(3+1) + C = x⁴/4 + C

Quy tắc mũ cũng có thể được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức logarit với lũy thừa:

log_m(ab) = b log_m(a)

Ví dụ:

log₃x² = 2 log₃x

log₂₅3 = 1/3 log₂₅(3³) = 3/2 log₂₅3

Một số lưu ý quan trọng về quy tắc mũ:

• Đạo hàm của hàm số x là 1.
• Đạo hàm của bất kỳ hằng số nào là 0.

Quy tắc lũy thừa bằng 0

Quy tắc lũy thừa bằng 0 cho biết giá trị của một biểu thức với bất kỳ cơ số nào với số mũ bằng 0 là bằng 1. Tức là, ta có x0 = 1, đối với các số thực x ngoại trừ x = 0.

Tham Khảo Nguồn: Lũy thừa