Phương trình bậc hai là biểu thức đại số bậc hai và có dạng ax2 + bx + c = 0. Thuật ngữ “bậc hai” xuất phát từ từ “quadratus” trong tiếng Latinh có nghĩa là bình phương, thể hiện cho việc biến số x được bình phương trong phương trình. Nói cách khác, phương trình bậc hai là “phương trình bậc 2”. Có nhiều trường hợp mà phương trình bậc hai được sử dụng. Bạn có biết rằng khi một tên lửa được phóng lên, đường đi của nó được mô tả bởi một phương trình bậc hai? Hơn nữa, phương trình bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, thiên văn học, v.v. Phương trình bậc hai có tối đa hai nghiệm, có thể là số thực hoặc số phức. Hai nghiệm (giá trị của x) này còn được gọi là các gốc của phương trình bậc hai và được chỉ định là (α, β). Chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về các gốc của phương trình bậc hai trong phần nội dung dưới đây.

Khái niệm Phương trình bậc hai

Một phương trình bậc hai là một phương trình đại số bậc hai trong biến x. Phương trình bậc hai trong dạng chuẩn của nó là ax2 + bx + c = 0, trong đó a và b là các hệ số, x là biến và c là hằng số.

Các Phương pháp giải phương trình bậc hai

Có nhiều phương pháp khác nhau để giải phương trình bậc hai, trong đó các phương pháp sau đây là những phương pháp phổ biến nhất:

Phương pháp Công thức: Đây là phương pháp giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm của nó.
Phương pháp Hoàn thành Số bình phương: Đây là phương pháp giải phương trình bậc hai bằng cách hoàn thành số bình phương.
Phương pháp Phân tích thành thừa số: Đây là phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai – Công thức, phương pháp và ví dụ

Điều kiện quan trọng để một phương trình trở thành phương trình bậc hai là hệ số của x2 là một thuật ngữ không bằng không (a ≠ 0). Để viết một phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn, thuật ngữ x2 được viết đầu tiên, tiếp theo là thuật ngữ x, và cuối cùng là thuật ngữ hằng số. Ngoài ra, trong các vấn đề toán học thực tế, phương trình bậc hai được trình bày dưới nhiều dạng khác nhau: (x – 1)(x + 2) = 0, -x2 = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12x, x3 = x(x2 + x – 3). Tất cả những phương trình này cần được chuyển đổi thành dạng chuẩn của phương trình bậc hai trước khi tiến hành các phép tính tiếp theo.

Nghiệm của phương trình bậc hai

Các nghiệm của phương trình bậc hai là hai giá trị của x, được tính bằng cách giải phương trình bậc hai. Những nghiệm của phương trình bậc hai cũng được gọi là các giá trị không của phương trình. Ví dụ, nghiệm của phương trình x2 – 3x – 4 = 0 là x = -1 và x = 4 vì mỗi giá trị này thỏa mãn phương trình. Nghĩa là,

Tại x = -1, (-1)2 – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0
Tại x = 4, (4)2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0

Có nhiều phương pháp để tìm các nghiệm của phương trình bậc hai. Việc sử dụng công thức bậc hai là một trong số đó.

phương trình bậc hai công thức định nghĩa và ví dụ

Công thức bậc hai

Công thức bậc hai là cách đơn giản nhất để tìm nghiệm của một phương trình bậc hai. Có những phương trình bậc hai không thể phân tích dễ dàng, và ở đây chúng ta có thể tiện lợi sử dụng công thức bậc hai này để tìm nghiệm một cách nhanh chóng nhất. Hai nghiệm trong công thức bậc hai được trình bày dưới dạng một biểu thức duy nhất. Dấu dương và dấu âm có thể được sử dụng lần lượt để có được hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Công thức bậc hai: Nghiệm của một phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 được cho bởi x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a. Công thức này còn được gọi là công thức của Sridharacharya.

Ví dụ: Hãy tìm nghiệm của cùng một phương trình đã được đề cập trong phần trước x2 – 3x – 4 = 0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai. a = 1, b = -3, và c = -4.

x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

= [-(-3) ± √((-3)2 – 4(1)(-4))]/2(1)

= [3 ± √25] / 2

= [3 ± 5] / 2

= (3 + 5)/2 hoặc (3 – 5)/2

= 8/2 hoặc -2/2

= 4 hoặc -1 là nghiệm của phương trình.

Chứng minh Công thức bậc hai

Xét một phương trình bậc hai tùy ý: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Để xác định nghiệm của phương trình này, chúng ta tiến hành như sau:

ax2 + bx = -c ⇒ x2 + bx/a = -c/a. Giờ ta có thể biến đổi phương trình thành dạng hoàn chỉnh bằng cách đưa một số mới (b/2a)2 vào hai vế:

x2 + bx/a + (b/2a)2 = -c/a + (b/2a)2. Vế trái của phương trình đã trở thành một số mũ hoàn hảo:

(x + b/2a)2 = -c/a + b2/4a2 ⇒ (x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a2.

Tiếp theo, ta lấy căn bậc hai của cả hai vế phương trình:

x + b/2a = ±√(b2 – 4ac)/2a.

Từ đó, ta có thể tách biến x và thu được hai nghiệm của phương trình:

x = (-b ± √(b2 – 4ac))/2a.

Do việc hoàn thành các bình phương, ta có thể tìm ra hai nghiệm của phương trình.

Tính chất của nghiệm của phương trình bậc hai

Nghiệm của phương trình bậc hai thường được biểu diễn bởi các ký hiệu alpha (α) và beta (β). Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tìm ra tính chất của nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần phải tìm thực sự nghiệm của phương trình. Việc này có thể được thực hiện bằng cách tính giá trị delta, đó là một phần của công thức để giải phương trình bậc hai.

Tổng và Tích của nghiệm của phương trình bậc hai

Các hệ số của x², x và hằng số của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có thể dùng để tìm tổng và tích của gốc rễ mà không thực sự giải quyết gốc rễ:

Tổng các nghiệm: α + β = -b/a = – Hệ số của x/ Hệ số của x²
Tích của các Căn: αβ = c/a = Hằng số/ Hệ số của x²

Công thức liên quan đến Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai chuẩn: ax2 + bx + c = 0

Trong đó, a, b, và c là các hằng số, và a khác 0.

Hệ số phân biệt của phương trình bậc hai

Được ký hiệu là D = b2 – 4ac.

Với D > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt và thực.
Với D = 0, phương trình có hai nghiệm thực và bằng nhau.
Với D < 0, phương trình không có nghiệm thực hoặc có nghiệm ảo.

Công thức để tìm nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức được cho bởi x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a.

Tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai

Tổng của hai nghiệm của phương trình bậc hai là α + β = -b/a.
Tích của hai nghiệm của phương trình bậc hai là αβ = c/a.

Tạo phương trình bậc hai từ các nghiệm

Nếu α, β là hai nghiệm của phương trình bậc hai, thì phương trình bậc hai tương ứng là:

x2 – (α + β)x + αβ = 0

Ví dụ

Nếu α = 4 và β = -1, phương trình bậc hai tương ứng là:

x2 – (α + β)x + αβ = 0

x2 – (4 – 1)x + (4)(-1) = 0

x2 – 3x – 4 = 0

ví dụ Các phương trình bậc hai và cách giải

Điều kiện để hai phương trình bậc hai a1x2 + b1x + c1 = 0 và a2x2 + b2x + c2 = 0 có cùng nghiệm là (a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) = (a2c1 – a1c2)2.

Khi a > 0, biểu thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -b/2a. Khi a < 0, biểu thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c đạt giá trị lớn nhất tại x = -b/2a. Miền xác định của bất kỳ hàm bậc hai nào là tập hợp của tất cả các số thực.

Phân tích nhân tố của phương trình bậc hai

Đối với một dạng chung của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, chúng ta cần phải chia đôi số giữa thành hai số, sao cho tích của hai số bằng hằng số. Tiếp theo, chúng ta có thể lấy các số chung từ các thuật ngữ có sẵn, để cuối cùng thu được các nhân tử cần thiết như sau:

x2 + (a + b)x + ab = 0

x2 + ax + bx + ab = 0

x(x + a) + b(x + a)

(x + a)(x + b) = 0

Dưới đây là một ví dụ để hiểu quá trình phân tích nhân tố. x2 + 5x + 6 = 0

x2 + 2x + 3x + 6 = 0

x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(x + 2)(x + 3) = 0

Do đó, hai nhân tử thu được của phương trình bậc hai là (x + 2) và (x + 3). Để tìm các nghiệm, chỉ cần đặt mỗi nhân tử bằng không và giải phương trình tương ứng với x. Nghĩa là, x + 2 = 0 và x + 3 = 0 sẽ cho ta x = -2 và x = -3. Do đó, x = -2 và x = -3 là các nghiệm của phương trình x2 + 5x + 6 = 0. Ngoài ra, còn có một phương pháp quan trọng khác để giải phương trình bậc hai. Phương pháp hoàn thành khối cho phương trình bậc hai cũng hữu ích để tìm các nghiệm của phương trình.

Định nghĩa của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai trong toán học là một phương trình bậc hai của dạng ax² + bx + c = 0. Ở đây a và b là hệ số, c là hằng số và x là biến số. Vì biến số x có bậc hai, nên có hai nghiệm hoặc câu trả lời cho phương trình bậc hai này.

Cách giải phương trình bậc hai

Có nhiều phương pháp để giải phương trình bậc hai, nhưng phương pháp phổ biến nhất là phân tích thành nhân tử, sử dụng công thức giải phương trình bậc hai và hoàn thành bình phương.

Các nghiệm phức của phương trình bậc hai

Đối với các phương trình bậc hai có giá trị biểu thức phân biệt âm, các nghiệm được biểu diễn bởi các số phức. Tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai có thể được sử dụng để tìm các biểu thức đại số cao hơn liên quan đến các nghiệm này.

Giải phương trình bậc hai

Điểm hoặc các điểm mà đồ thị cắt trục hoành x (thường được gọi là điểm cắt x) là nghiệm của phương trình bậc hai. Những điểm này cũng có thể được tìm bằng cách giải phương trình y = ax2 + bx + c khi giá trị y bằng 0.

Phương trình bậc hai có cùng nghiệm

Xét hai phương trình bậc hai có cùng nghiệm a1x2 + b1x + c1 = 0 và a2x2 + b2x + c2 = 0. Chúng ta giải hai phương trình này để tìm ra các điều kiện để chúng có cùng nghiệm. Hai phương trình này được giải theo x2 và x tương ứng. (x2)(b1c2 – b2c1) = (-x)/(a1c2 – a2c1) = 1/(a1b2 – a2b1) x2 = (b1c2 – b2c1) / (a1b2 – a2b1) x = (a2c1 – a1c2) / (a1b2 – a2b1) Do đó, bằng cách đơn giản hóa hai biểu thức trên, ta có điều kiện sau đây để hai phương trình có cùng nghiệm: (a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) = (a2c1 – a1c2)2.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc hai

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai F(x) = ax2 + bx + c có thể được quan sát trong các đồ thị dưới đây.

Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương pháp factor được sử dụng để tìm hai số nhân với nhau bằng hệ số hạng số, c, và cộng lại với hệ số của x, b. Công thức bậc hai được sử dụng khi factor không thể được áp dụng, công thức này có dạng x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a. Phương pháp hoàn chỉnh khối bao gồm viết lại phương trình bậc hai dưới một dạng khác để giải cho x một cách dễ dàng hơn.

Định thức trong công thức bậc hai là gì?

Giá trị b2 – 4ac được gọi là định thức và được ký hiệu là D. Định thức là một phần của công thức bậc hai. Định thức giúp chúng ta tìm ra tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai, mà không cần tìm ra các nghiệm của phương trình bậc hai.

Các ứng dụng thực tế của phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai được sử dụng để tìm các điểm mà đồ thị cắt trục hoành x (thường là các điểm cắt x, tức là các nghiệm của phương trình bậc hai). Các điểm này cũng có thể được tính đại số bằng cách đặt giá trị của y bằng 0 trong hàm số y = ax2 + bx + c và giải phương trình đó với x. Phương trình bậc hai còn có nhiều ứng dụng thực tế khác nhau. Chúng có thể được sử dụng trong các bài toán về thời gian chạy để đánh giá tốc độ, khoảng cách hoặc thời gian đi lại bằng ô tô, tàu hoặc máy bay. Phương trình bậc hai mô tả mối quan hệ giữa số lượng và giá của một hàng hóa. Tương tự, các tính toán về cầu và chi phí cũng được coi là các bài toán phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính khác nhau như thế nào?

Một phương trình tuyến tính là phương trình của một biến số với bậc một và một hệ số, còn một phương trình bậc hai là phương trình của một biến số với bậc hai và ba hệ số. Một phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, trong khi một phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0. Một phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất, trong khi một phương trình bậc hai có hai nghiệm hoặc hai giá trị. Một phương trình bậc hai cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai phương trình tuyến tính.

Cách giải phương trình bậc hai bằng phương pháp hoàn thành số?

Phương trình bậc hai có thể được giải bằng phương pháp hoàn thành số và sử dụng công thức (a + b)² = a² + 2ab + b² (hoặc) (a – b)² = a² – 2ab + b².

Giá trị phân biệt trong phương trình bậc hai là gì?

Giá trị phân biệt trong phương trình bậc hai là giá trị b² – 4ac và được ký hiệu là D. Giá trị phân biệt là một phần của công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giá trị phân biệt giúp chúng ta tìm ra tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần phải tìm ra các giá trị nghiệm của phương trình bậc hai.

Tìm trình giải phương trình bậc hai ở đâu?

Để tìm trình giải phương trình bậc hai, nhấn vào đây. Tại đây, chúng ta có thể nhập giá trị của a, b và c cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, sau đó nó sẽ cho bạn các nghiệm cùng với quy trình từng bước.

Việc sử dụng hệ số phân biệt trong công thức phương trình bậc hai là gì?

Hệ số phân biệt (D = b2 – 4ac) hữu ích để dự đoán tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai. Với D > 0, các nghiệm là số thực và khác nhau, với D = 0, các nghiệm là số thực và bằng nhau, và với D < 0, các nghiệm không tồn tại hoặc các nghiệm là số phức ảo. Với sự giúp đỡ của hệ số phân biệt này và với ít tính toán nhất, chúng ta có thể tìm ra tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Giá trị của biểu thức phân biệt trong phương trình bậc hai

Giá trị của biểu thức phân biệt trong phương trình bậc hai có thể được tìm thấy từ các biến và hằng số của dạng chuẩn của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0. Giá trị của biểu thức phân biệt là D = b2 – 4ac, và nó giúp dự đoán tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai, mà không cần tìm thực sự các nghiệm của phương trình.

Làm thế nào để giải phương trình bậc hai bằng đồ thị?

Phương trình bậc hai có thể được giải tương tự như một phương trình tuyến tính bằng cách vẽ đồ thị. Hãy lấy phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 làm y = ax2 + bx + c. Ở đây chúng ta lấy tập giá trị của x và y và vẽ đồ thị. Hai điểm mà đồ thị này gặp trục hoành x là các giải pháp của phương trình bậc hai này.

Làm thế nào để giải phương trình bậc hai mà không sử dụng công thức phương trình bậc hai?

Có hai phương pháp thay thế cho công thức phương trình bậc hai. Một phương pháp là giải phương trình bậc hai thông qua phân tích thành các thừa số, và phương pháp khác là bằng cách hoàn thành các khối vuông. Tổng cộng có ba phương pháp để tìm ra các nghiệm của một phương trình bậc hai.

Mẹo và Kỹ thuật về Phương trình Bậc hai:

Sử dụng phép giải tích để giải phương trình bậc hai. Tuy nhiên, trong trường hợp không thể giải phương trình bậc hai bằng phương pháp giải phân, ta sử dụng công thức bậc hai.
Các nghiệm của phương trình bậc hai cũng được gọi là các số không của phương trình.

Nguồn Tham Khảo Bài Viết: Phương trình bậc hai