Định thức là gì

Định thức là một số vô hướng được tính bằng tổng các tích của các phần tử trong ma trận vuông và đại lượng phụ thuộc của chúng theo một quy tắc được quy định trước. Định thức giúp tìm ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị. Để giải phương trình tuyến tính thông qua phương pháp ma trận nghịch đảo, chúng ta cần áp dụng khái niệm này. Việc tính định thức cũng giúp chúng ta dễ dàng tính tích vô hướng của hai vectơ thông qua tính toán của chúng.

Định nghĩa định thức

Đối với mọi ma trận vuông C = [\(c_{ij}\)] có cỡ n×n, định thức có thể được định nghĩa là một giá trị số vô hướng thực hoặc phức, trong đó \(c_{ij}\) là phần tử thứ (i, j) của ma trận C. Định thức có thể được ký hiệu là det(C) hoặc |C|, trong đó định thức được viết bằng cách lấy lưới số và sắp xếp chúng trong dấu giá trị tuyệt đối thay vì sử dụng dấu ngoặc vuông. Ví dụ, cho một ma trận C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\), định thức của nó có thể được viết như sau:

Ý nghĩa

Định thức được coi là một hệ số tỉ lệ của các ma trận. Chúng có thể được coi là các hàm của quá trình căng và co lại của các ma trận. Định thức nhận một ma trận vuông làm đầu vào và trả về một số duy nhất là đầu ra.

Các tính chất và ví dụ

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về quy trình tìm định thức của các ma trận khác nhau, các tính chất của chúng và áp dụng chúng vào một số ví dụ đã được giải quyết.

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|\)

Cách tính định thức

Đối với ma trận vuông đơn giản nhất có kích thước 1×1, chỉ có một số, định thức trở thành chính số đó. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính định thức cho các ma trận cỡ 2, 3 và 4.

định thức là gì tính định thức ma trận công thức ví dụ

Tính định thức của ma trận 2×2

Đối với một ma trận vuông 2×2 hoặc ma trận vuông cấp 2, chúng ta có thể sử dụng công thức tính định thức để tính toán định thức của nó:

C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{array}\right]\)

Định thức 2×2 của nó có thể được tính toán như sau:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\) = (a×d) – (b×c)

Ví dụ: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)

Định thức của nó có thể được tính toán như sau:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)

|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14

Tính định thức ma trận 3×3

Đối với bất kỳ ma trận vuông 3×3 hoặc ma trận vuông cấp 3×3 nào, ta có thể sử dụng công thức tính định thức để tính toán:

|C| (hoặc) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)

Ở đây là các bước tính định thức của một ma trận 3×3:

a1 được chọn làm số mấu chốt và tính toán định thức 2×2 của ma trận con (minors của a1). Tương tự, tính các minors của b1 và c1.

Ví dụ:

B = \(\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right]\)

Định thức của ma trận B được tính toán như sau:

|B| = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right|\)

= \(3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \\8 & 7\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\2 & 7\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll}4 & -2 \\2 & 8\end{array}\right|\)

= 3 × ((-2)(7) – (5)(8)) -1 × ((4)(7) – (5)(2)) + 1 × ((4)(8) – (-2)(2))

= 3 × ((-14) – (40)) -1 × ((28) – (10)) + 1 × ((32) – (-4))

= 3 × (-54) -1 × (18) + 1 × (36)

= – 162 – 18 + 36

Lưu ý rằng chúng ta đã tính định thức của một ma trận 3×3 bằng cách sử dụng hàng đầu tiên ở đây. Nhưng bất kỳ hàng / cột nào cũng có thể được sử dụng để tính định thức.

Tính định thức của ma trận 4×4

Giả sử có ma trận vuông 4×4 như sau:

B = \(\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right]\)

Để tính định thức của ma trận 4×4, ta cần thực hiện các bước sau:

Thực hiện phép tính: a1 nhân với định thức của ma trận 3×3 thu được bằng cách xoá dòng và cột chứa a1.
Thực hiện phép tính: -b1 nhân với định thức của ma trận 3×3 thu được bằng cách xoá dòng và cột chứa b1.
Thực hiện phép tính: c1 nhân với định thức của ma trận 3×3 thu được bằng cách xoá dòng và cột chứa c1.
Thực hiện phép tính: -d1 nhân với định thức của ma trận 3×3 thu được bằng cách xoá dòng và cột chứa d1.

Vậy ta có công thức tính định thức của ma trận 4×4 như sau:

|B| = a1 ⋅(\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \b_{3} & c_{3} & d_{3} \b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|)-b1 ⋅(\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \a_{3} & c_{3} & d_{3} \a_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|)<span style

Phép nhân hai định thức vuông A và B

Phép nhân định thức 2×2

Giả sử có hai ma trận vuông A và B cùng cỡ 2×2, ta đặt giá trị định thức của chúng lần lượt là |A| và |B| như sau:

|A| = |a₁ b₁|
|a₂ b₂|

|B| = |p₁ q₁|
|p₂ q₂|

|A| × |B| = |a₁ b₁| × |p₁ q₁|
                     |a₂ b₂| |p₂ q₂|
            = |a₁p₁+b₁p₂ a₁q₁+b₁q₂|
                    |a₂p₁+b₂p₂ a₂q₁+b₂q₂|

Phép nhân định thức 3×3

Giả sử có hai ma trận C và D cùng cỡ 3×3, ta đặt giá trị định thức của chúng lần lượt là |C| và |D| như sau:

Các tính chất của định thức ma trận

Định thức của ma trận bị thay đổi nếu một hàng hoặc một cột của ma trận đó được nhân với một hằng số.
Nếu các phần tử của một hàng hoặc một cột được biểu diễn dưới dạng tổng, thì định thức có thể được chia thành hai hoặc nhiều định thức.
Nếu một hàng (hoặc một cột) được nhân với một số và các phần tử kết quả được thêm vào một hàng khác (hoặc một cột), thì định thức của ma trận không thay đổi.

Tìm một trình tính định thức cho ma trận

Để tìm định thức của một ma trận, bạn có thể sử dụng trình tính toán sau: Trình tính định thức. Điều này sẽ giúp bạn tìm định thức của ma trận 3×3.

Định thức của ma trận tam giác

Định thức của một ma trận tam giác có thể được tính bằng cách tính tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính. Điều này áp dụng cho cả ma trận tam giác trên và tam giác dưới.

Định thức có thể là số âm không?

Định thức đại diện cho một lượng scala là một số thực. Do đó, định thức có thể là số âm. Nếu định thức là số âm, nó thể hiện ma trận đã thay đổi hướng của vector cơ sở của nó. |-A| = (-1)n |A|.

Quy tắc cho các phép toán trên định thức

Các quy tắc sau đây hữu ích trong việc thực hiện các phép toán hàng và cột trên định thức. Giá trị của định thức không thay đổi nếu các hàng và cột được hoán đổi. Dấu của định thức thay đổi nếu hai hàng hoặc (hai cột) được hoán đổi. Nếu hai hàng hoặc cột của ma trận bằng nhau, thì giá trị của định thức bằng không. Nếu mỗi phần tử của một hàng hoặc cột nhân với một hằng số, thì giá trị của định thức cũng được nhân với hằng số đó. Nếu các phần tử của một hàng hoặc cột được biểu diễn dưới dạng tổng các phần tử, thì định thức có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các định thức. Nếu các phần tử của một hàng hoặc cột được cộng hoặc trừ với các bội số tương ứng của các phần tử khác của một hàng hoặc cột khác, thì giá trị của định thức không thay đổi.

Ghi chú quan trọng về định thức:

Dưới đây là một số điểm cần nhớ khi học về định thức:

Định thức có thể được coi là một hàm lấy ma trận vuông làm đầu vào và trả về một số duy nhất làm đầu ra.
Một ma trận vuông có thể được định nghĩa là một ma trận có số hàng và số cột bằng nhau.

Phép tính định thức

Phép tính định thức có thể được thực hiện bằng cách sử dụng quy tắc sau:

Khi đổi chỗ các hàng hoặc các cột của ma trận, giá trị của định thức không đổi.
Khi đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận, dấu của định thức sẽ đổi.
Nếu hai hàng hoặc hai cột của ma trận bằng nhau, giá trị của định thức là bằng 0.
Nếu một hàng hoặc một cột của ma trận được nhân với một hằng số, giá trị của định thức cũng được nhân với hằng số đó.
Nếu các phần tử của một hàng hoặc một cột được biểu diễn dưới dạng tổng của các phần tử khác, thì định thức có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các định thức khác nhau.
Nếu các phần tử của một hàng hoặc một cột được cộng hoặc trừ với các bội số tương ứng của các phần tử của một hàng hoặc một cột khác, thì giá trị của định thức không thay đổi.