Các hàm lượng giác cơ bản là sin và cos liên quan đến các góc và tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác vuông. Sin của một góc là tỷ lệ giữa cạnh đối và đường kính và cos của một góc là tỷ lệ giữa cạnh kề và đường kính. Đây là các bổ đề cơ bản được định nghĩa cho các góc nhọn. Sự mở rộng của các tỷ lệ này đến bất kỳ góc nào dưới dạng đo đạc bằng radian được gọi là hàm lượng giác. Sin là dương trong góc thứ nhất và thứ hai và cos là dương trong góc thứ nhất và thứ tư. Phạm vi của các hàm sin và cos là [-1,1] trong miền số thực.
Phương trình Sin Cos là gì? Nếu (x, y) là một điểm trên đường tròn đơn vị và nếu một tia từ gốc (0, 0) đến (x, y) tạo thành một góc θ so với trục dương, thì x và y thoả mãn định lý Pythagoras x2 + y2 = 1, trong đó x và y lần lượt là độ dài của các cạnh của tam giác vuông. Vì vậy, phương trình cơ bản của sin cos trở thành cos2θ + sin2θ = 1. Có nhiều bổ đề liên quan đến sin và cos được áp dụng trong các hàm lượng giác.
Công thức Sin Cos
Các hàm lượng giác cơ bản là các công thức sin và cos liên quan đến góc và tỉ số của các cạnh trong tam giác vuông. Sin của một góc là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, và cos của một góc là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. Đây là các công thức cơ bản được định nghĩa cho các góc nhọn. Sự mở rộng của các tỉ số này đến bất kỳ góc nào theo đơn vị đo là radian được gọi là hàm lượng giác. Sin là dương trong góc thứ nhất và thứ hai và cos là dương trong góc thứ nhất và thứ tư. Phạm vi của các hàm sin và cos là [-1,1] trong miền số thực.
Công thức Sin và Cos là gì?
Nếu (x, y) là một điểm trên đường tròn đơn vị và nếu một tia từ gốc (0, 0) đến (x, y) tạo thành một góc θ so với trục dương, thì x và y thoả mãn định lý Pythagoras x2 + y2 = 1, trong đó x và y lần lượt là độ dài của đốt sống chéo và đốt sống đứng trong tam giác vuông. Do đó, công thức sin cos cơ bản trở thành cos2θ + sin2θ = 1. Có nhiều công thức liên quan đến sin và cos được áp dụng trong các hàm lượng giác.
Công thức Sin Cos cho Tổng và Hiệu Góc
Một góc được tạo thành từ tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều góc được gọi là góc phức hợp. Hãy ký hiệu các góc phức hợp là α và β. Có các công thức Sin Cos đối với các góc phức hợp để mở rộng hoặc đơn giản hóa biểu thức hàm lượng giác. Hãy tìm hiểu chúng. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β và cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β.
Chuyển đổi Công thức Sin và Cos
Có một vài công thức mà chúng ta lấy từ một bên để làm việc và thay thế cho đến khi bên kia được chuyển đổi. Để xác minh một công thức, ch
Các công thức Sin Cos của Góc Âm
Đối với bất kỳ góc nhọn θ nào, hàm của các góc âm là:
sin (-θ) = – sinθ
cos (-θ) = cosθ
Các công thức Sum và Difference của Sin Cos
Một góc được tạo thành từ tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều góc được gọi là góc phức tạp. Chúng ta ký hiệu các góc phức tạp như α và β. Có Công thức Sin Cos đối với góc phức tạp để mở rộng hoặc đơn giản hóa biểu thức lượng giác.
- sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
- cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
- cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Công thức tích thành tổng
Nếu chúng ta cộng hai phương trình, ta được:
cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α − β)
cosα cosβ − sinα sinβ = cos(α + β)
Chia cho 2 và tách ra tích của cosines:
cosα cosβ = (1/2)[cos(α−β) + cos(α+β)]
Tương tự, chúng ta có thể suy ra các công thức khác bằng cách biểu diễn tích thành tổng/chênh lệch.
Công thức tổng thành tích
Có một số bài toán yêu cầu ngược lại của tích thành tổng. Hãy xem cách suy ra các công thức tổng thành tích này. Để làm điều này, hãy sử dụng một số thay thế như (u + v) / 2 = α, (u – v) / 2 = β
Sau đó, α + β = [(u + v) / 2] + [(u – v) / 2] = u
α – β = [(u + v) / 2] – [(u – v) / 2] = v
Hãy suy ra công thức tổng thành tích. Chúng ta thay α và β vào công thức tích thành tổng. Xét (sinα cosβ) = (1/2)[sin(α + β) + sin(α – β)]
Thay thế cho (α + β) và αβ, ta có
sin((u+v)/2) cos ((u-v)/2) = 1/2[sinu + sin v]
2sin((u+v)/2)) cos ((u-v)/2) = sinu + sin v
Tương tự, chúng ta có thể suy ra các công thức tổng thành tích khác.
Sin Cos Công thức của Góc Đa Thức
Công thức Góc Đôi và Góc Ba
- sin 2θ = 2 sinθ cosθ
- sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3θ
- cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ
- cos 2θ = 2cos2θ – 1
- cos 2θ = 1- 2sin2 θ
- cos 3θ = 4 cos3θ – 3cosθ
- sin (θ/2) = ± √((1- cosθ)/2)
- cos (θ/2) = ± √((1+ cosθ)/2)
- sin θ = 2tan (θ/2) /(1 + tan2 (θ/2))
- cos θ = (1-tan2 (θ/2))/(1 + tan2 (θ/2))
Sử dụng hình ảnh đơn giản để phân tích các khái niệm khó khăn. Toán học sẽ không còn là môn học khó khăn, đặc biệt là khi bạn hiểu các khái niệm thông qua hình ảnh với toán học. Đặt lịch học thử miễn phí.
Ví dụ sử dụng Công thức Sin Cos
Ví dụ 1:
Khi sin X = 1/2 và cos Y = 3/4 thì tìm cos(X+Y)
Giải: Chúng ta biết rằng cos(X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
- Đã cho sin X = 1/2
- Ta biết rằng, cos X = √(1 – sin2X) = √(1 – (1/4)) = √3/2
- Vậy, cos X = √3/2
- Đã cho cos Y = 3/4
- Ta biết rằng, sin Y = √(1 – cos2Y) = √(1 – (9/16)) = √7/4
- Vậy, sin Y = √7/4
Áp dụng công thức tổng cos, chúng ta có cos(X+Y) = (√3/2) × (3/4) – 1/2 × (√7/4)
= (3√3 – √7)/8
Đáp án: cos(X+Y) = (3√3 – √7)/8
Ví dụ 2:
Nếu sin θ = 3/5, tì
Sử dụng Công thức Sin Cos trong Lượng giác
Trong lượng giác, các công thức sin cos là một tập hợp các phương trình được sử dụng để liên hệ các hàm lượng giác của các góc. Các công thức là:
sin 2θ = 2 sinθ cosθ
sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3θ
cos2θ = cos2θ – sin2θ
cos2θ = 2cos2θ –
cos 2θ = 1-2sin2 θ
cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ
sin (θ/2) = ± √((1-cosθ)/2)
cos (θ/2) = ± √((1+ cosθ)/2)
tội lỗi θ = 2tan(θ/2) /(1 + tan2(θ/2))
cos θ = (1-tan2(θ/2))/(1 + tan2(θ/2))
Ví dụ sử dụng không có công thức Cos
Ví dụ 1: Tìm cos(X+Y)
Cho sin X = 1/2 và cos Y = 3/4, tìm cos(X+Y).
Giải pháp:
Chúng ta biết cos(X + Y) = cos X cos Y – không có X không có Y
Cho sin X = 1/2, chúng ta có thể tìm cos X là √(1 – sin2X) = √(1 – (1/4)) = √3/2 Tương tự, cho cos Y = 3/4, chúng ta có thể tìm được sin Y là √(1 – cos2Y) = √(1 – (9/16)) = √7/4
Thay các giá trị vào, chúng ta được cos(X+Y) = (√3/2) × (3/4) – 1/2 × (√7/4) = (3√3 – √7)/8
Trả lời: cos(X+Y) = (3√3 – √7)/8
Ví dụ 2: Tìm sin2θ
Cho sin θ = 3/5, tìm sin2θ.
Giải pháp:
Chúng ta biết rằng sin2θ = 2 sin θ cos θ. Ta cần xác định cos θ bằng công thức cos2θ + sin2θ =
cos2θ = 1 – sin2θ = 1 – (25/9) = 16/2 Do đó, cos θ = 4/5
Thay thế các giá trị, chúng tôi nhận được sin2θ = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/2
Trả lời: sin2θ = 24/2
Nguồn Tham Khảo : Lượng giác
